გადაწყვიტეთ {r}{2x-3y=4}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y=4$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}+2-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=8.

$$\frac{3}{2}y+2+y=8$$

მიუმატეთ \frac{3y}{2} y-ს.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=6$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{12}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{5}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{12}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{18}{5}+2$$

მიუმატეთ 2 \frac{18}{5}-ს.

$$x=\frac{28}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

იმისათვის, რომ 2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2x-3y=4,2x+2y=2\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$2x-3y=4,2x+2y=16$$

გამოაკელით 2x+2y=16 2x-3y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-3y-2y=4-16$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-2y=4-16$$

მიუმატეთ -3y -2y-ს.

$$-5y=4-16$$

მიუმატეთ 4 -16-ს.

$$-5y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=\frac{12}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{5}-ით y აქ: x+y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+\frac{12}{5}=8$$

გამოაკელით \frac{12}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{28}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$