გადაწყვიტეთ {l}{y=7x-1}{y=-x-9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x - 1 } \\ { y = - x - 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$y-7x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=-9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-7x=-1$$

მიუმატეთ 7x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=7x-1$$

ჩაანაცვლეთ 7x-1-ით y მეორე განტოლებაში, y+x=-9.

$$7x-1+x=-9$$

მიუმატეთ 7x x-ს.

$$8x-1=-9$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y=7x-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=7\left(-1\right)-1$$

გაამრავლეთ 7-ზე -1.

$$y=-7-1$$

მიუმატეთ -1 -7-ს.

$$y=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-8,x=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$y-7x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=-9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{7}{8}\left(-9\right)\\-\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-8,x=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7x ორივე მხარეს.

$$y-7x=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ x ორივე მხარეს.

$$y+x=-9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

გამოაკელით y+x=-9 y-7x=-1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-7x-x=-1+9$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-7x-x=-1+9$$

მიუმატეთ -7x -x-ს.

$$-8x=-1+9$$

მიუმატეთ -1 9-ს.

$$-8x=8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით x აქ: y+x=-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-1=-9$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-8,x=-1$$