გადაწყვიტეთ {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$x+2y=315.9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-6x=0$$

მიუმატეთ 6x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=6x$$

ჩაანაცვლეთ 6x-ით y მეორე განტოლებაში, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6x.

$$12x+x=315.9$$

მიუმატეთ 12x x-ს.

$$13x=315.9$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$x=24.3$$

ჩაანაცვლეთ 24.3-ით x აქ: y=6x. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=6\times 24.3$$

გაამრავლეთ 6-ზე 24.3.

$$y=145.8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=145.8,x=24.3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$x+2y=315.9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$y-6x=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დააჯგუფეთ y და y, რათა მიიღოთ 2y.

$$x+2y=315.9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

იმისათვის, რომ y და 2y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

გაამარტივეთ.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

გამოაკელით 2y+x=315.9 2y-12x=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12x-x=-315.9$$

მიუმატეთ -12x -x-ს.

$$-13x=-315.9$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$x=\frac{243}{10}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{243}{10}-ით x აქ: 2y+x=315.9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

გამოაკელით \frac{243}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=\frac{729}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$