გადაწყვიტეთ {l}{y=2x+3}{y=-3x-6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = - 3 x - 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-2x=3$$

მიუმატეთ 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2x+3$$

ჩაანაცვლეთ 2x+3-ით y მეორე განტოლებაში, y+3x=-6.

$$2x+3+3x=-6$$

მიუმატეთ 2x 3x-ს.

$$5x+3=-6$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{9}{5}-ით x აქ: y=2x+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=2\left(-\frac{9}{5}\right)+3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{9}{5}.

$$y=-\frac{18}{5}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{18}{5}-ს.

$$y=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{2}{5}\left(-6\right)\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$y+3x=-6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-2x=3,y+3x=-6$$

გამოაკელით y+3x=-6 y-2x=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-2x-3x=3+6$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x-3x=3+6$$

მიუმატეთ -2x -3x-ს.

$$-5x=3+6$$

მიუმატეთ 3 6-ს.

$$-5x=9$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{9}{5}-ით x აქ: y+3x=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+3\left(-\frac{9}{5}\right)=-6$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{9}{5}.

$$y-\frac{27}{5}=-6$$

მიუმატეთ \frac{27}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{3}{5},x=-\frac{9}{5}$$