გადაწყვიტეთ {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=7$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=13$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+2x=13$$

გამოაკელით 2x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-2x+13$$

ჩაანაცვლეთ -2x+13-ით y მეორე განტოლებაში, 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

გაამრავლეთ 8-ზე -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

მიუმატეთ -16x 4x-ს.

$$-12x+104=20$$

გამოაკელით 104 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12x=-84$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$x=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით x აქ: y=-2x+13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-2\times 7+13$$

გაამრავლეთ -2-ზე 7.

$$y=-14+13$$

მიუმატეთ 13 -14-ს.

$$y=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-1,x=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=13$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-1,x=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 2x ორივე მხარეს.

$$y+2x=13$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

იმისათვის, რომ y და 8y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

გაამარტივეთ.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

გამოაკელით 8y+4x=20 8y+16x=104-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

მიუმატეთ 8y -8y-ს. პირობები 8y და -8y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$16x-4x=104-20$$

მიუმატეთ 16x -4x-ს.

$$12x=104-20$$

მიუმატეთ 104 -20-ს.

$$12x=84$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$x=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით x აქ: 8y+4x=20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$8y+4\times 7=20$$

გაამრავლეთ 4-ზე 7.

$$8y+28=20$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8y=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-1,x=7$$