გადაწყვიტეთ {l}{y=x+1/2+3}{y=2x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 1 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით x+1-ის წევრი 2-ზე \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 3, რათა მიიღოთ \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7+x}{2}-ით y მეორე განტოლებაში, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}-2x=10$$

მიუმატეთ \frac{x}{2} -2x-ს.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}=10$$

გამოაკელით \frac{7}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{13}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{3}-ით x აქ: y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{13}{3}\right)+\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -\frac{13}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-\frac{13}{6}+\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} -\frac{13}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით x+1-ის წევრი 2-ზე \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 3, რათა მიიღოთ \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=10$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{7}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაყავით x+1-ის წევრი 2-ზე \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-ის მისაღებად.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+3$$

შეკრიბეთ \frac{1}{2} და 3, რათა მიიღოთ \frac{7}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=10$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2},y-2x=10$$

გამოაკელით y-2x=10 y-\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{7}{2}-10$$

მიუმატეთ -\frac{x}{2} 2x-ს.

$$\frac{3}{2}x=\frac{7}{2}-10$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} -10-ს.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{13}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{3}-ით x აქ: y-2x=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-2\left(-\frac{13}{3}\right)=10$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{13}{3}.

$$y+\frac{26}{3}=10$$

გამოაკელით \frac{26}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{13}{3}$$