გადაწყვიტეთ {l}{x+y=5y}{x+8y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 y } \\ { x + 8 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$x+y-5y=0$$

დააჯგუფეთ y და -5y, რათა მიიღოთ -4y.

$$x-4y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-4y=0$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4y$$

ჩაანაცვლეთ 4y-ით x მეორე განტოლებაში, x+8y=9.

$$4y+8y=9$$

მიუმატეთ 4y 8y-ს.

$$12y=9$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{4}-ით y აქ: x=4y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\times \frac{3}{4}$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3}{4}.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$x+y-5y=0$$

დააჯგუფეთ y და -5y, რათა მიიღოთ -4y.

$$x-4y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{8-\left(-4\right)}&\frac{1}{8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 9\\\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$x+y-5y=0$$

დააჯგუფეთ y და -5y, რათა მიიღოთ -4y.

$$x-4y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-4y=0,x+8y=9$$

გამოაკელით x+8y=9 x-4y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x-4y-8y=-9$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-8y=-9$$

მიუმატეთ -4y -8y-ს.

$$-12y=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{4}-ით y აქ: x+8y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+8\times \frac{3}{4}=9$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{3}{4}.

$$x+6=9$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{3}{4}$$