გადაწყვიტეთ {l}{x+y=2}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+2$$

ჩაანაცვლეთ -y+2-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-3y=1.

$$2\left(-y+2\right)-3y=1$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+2.

$$-2y+4-3y=1$$

მიუმატეთ -2y -3y-ს.

$$-5y+4=1$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{5}-ით y აქ: x=-y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{3}{5}-ს.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y=2\times 2,2x-3y=1$$

გაამარტივეთ.

$$2x+2y=4,2x-3y=1$$

გამოაკელით 2x-3y=1 2x+2y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y+3y=4-1$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+3y=4-1$$

მიუმატეთ 2y 3y-ს.

$$5y=4-1$$

მიუმატეთ 4 -1-ს.

$$5y=3$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=\frac{3}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{5}-ით y აქ: 2x-3y=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-3\times \frac{3}{5}=1$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{3}{5}.

$$2x-\frac{9}{5}=1$$

მიუმატეთ \frac{9}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{14}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{7}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$