გადაწყვიტეთ {l}{x+3y=14}{4x-y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{56}{13} = 4\frac{4}{13} \approx 4.307692308$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=14$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+14$$

ჩაანაცვლეთ -3y+14-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-y=14.

$$4\left(-3y+14\right)-y=14$$

გაამრავლეთ 4-ზე -3y+14.

$$-12y+56-y=14$$

მიუმატეთ -12y -y-ს.

$$-13y+56=14$$

გამოაკელით 56 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-13y=-42$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$y=\frac{42}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{42}{13}-ით y აქ: x=-3y+14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times \frac{42}{13}+14$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{42}{13}.

$$x=-\frac{126}{13}+14$$

მიუმატეთ 14 -\frac{126}{13}-ს.

$$x=\frac{56}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 14\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=14,4x-y=14$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=14$$

გაამარტივეთ.

$$4x+12y=56,4x-y=14$$

გამოაკელით 4x-y=14 4x+12y=56-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+12y+y=56-14$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y+y=56-14$$

მიუმატეთ 12y y-ს.

$$13y=56-14$$

მიუმატეთ 56 -14-ს.

$$13y=42$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$y=\frac{42}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{42}{13}-ით y აქ: 4x-y=14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-\frac{42}{13}=14$$

მიუმატეთ \frac{42}{13} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{224}{13}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{56}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{56}{13},y=\frac{42}{13}$$