გადაწყვიტეთ {l}{adiv4-12=b}{adiv5=b}

$$\left. \begin{array} { l } { a \div 4 - 12 = b } \\ { a \div 5 = b } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=240$$

$$b=48$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$a-4b=48$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$a-5b=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a-4b=48$$

მიუმატეთ 4b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=4b+48$$

ჩაანაცვლეთ 48+4b-ით a მეორე განტოლებაში, a-5b=0.

$$4b+48-5b=0$$

მიუმატეთ 4b -5b-ს.

$$-b+48=0$$

გამოაკელით 48 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=-48$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=48$$

ჩაანაცვლეთ 48-ით b აქ: a=4b+48. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=4\times 48+48$$

გაამრავლეთ 4-ზე 48.

$$a=192+48$$

მიუმატეთ 48 192-ს.

$$a=240$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=240,b=48$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$a-4b=48$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$a-5b=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 48\\48\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\48\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=240,b=48$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{4}-12-b=0$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$\frac{a}{4}-b=12$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$a-4b=48$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით b ორივე მხარეს.

$$\frac{a}{5}-b=0$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$a-5b=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a-4b=48,a-5b=0$$

გამოაკელით a-5b=0 a-4b=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-a-4b+5b=48$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4b+5b=48$$

მიუმატეთ -4b 5b-ს.

$$b=48$$

ჩაანაცვლეთ 48-ით b აქ: a-5b=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a-5\times 48=0$$

გაამრავლეთ -5-ზე 48.

$$a-240=0$$

მიუმატეთ 240 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=240$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=240,b=48$$