გადაწყვიტეთ {l}{I:2x+5y=14}{pi-2x+3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { I : 2 x + 5 y = 14 } \\ { \pi - 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

$$y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

$$I\neq -\frac{20}{3}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\frac{I}{2}x+5y=14$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{I}{2}x=-5y+14$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{I}{2}-ზე.

$$x=\frac{2}{I}\left(-5y+14\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{I}-ზე -5y+14.

$$x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2\left(14-5y\right)}{I}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x+3y+\pi =4.

$$-2\left(\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}\right)+3y+\pi =4$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{2\left(14-5y\right)}{I}.

$$\frac{20}{I}y-\frac{56}{I}+3y+\pi =4$$

მიუმატეთ \frac{20y}{I} 3y-ს.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y-\frac{56}{I}+\pi =4$$

მიუმატეთ -\frac{56}{I} \pi -ს.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y+\pi -\frac{56}{I}=4$$

გამოაკელით \pi -\frac{56}{I} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y=4-\pi +\frac{56}{I}$$

ორივე მხარე გაყავით 3+\frac{20}{I}-ზე.

$$y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{56-I\pi +4I}{20+3I}-ით y აქ: x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{10}{I}\right)\times \frac{56+4I-\pi I}{3I+20}+\frac{28}{I}$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{I}-ზე \frac{56-I\pi +4I}{20+3I}.

$$x=-\frac{10\left(56+4I-\pi I\right)}{I\left(3I+20\right)}+\frac{28}{I}$$

მიუმატეთ \frac{28}{I} -\frac{10\left(56-I\pi +4I\right)}{I\left(20+3I\right)}-ს.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{I}{2\left(\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}&-\frac{10}{3I+20}\\\frac{4}{3I+20}&\frac{I}{3I+20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}\times 14+\left(-\frac{10}{3I+20}\right)\left(4-\pi \right)\\\frac{4}{3I+20}\times 14+\frac{I}{3I+20}\left(4-\pi \right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}\\\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

იმისათვის, რომ \frac{Ix}{2} და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{1}{2}I-ზე.

$$-2\times \frac{I}{2}x-2\times 5y=-2\times 14,\frac{I}{2}\left(-2\right)x+\frac{I}{2}\times 3y+\frac{I}{2}\pi =\frac{I}{2}\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$\left(-I\right)x-10y=-28,\left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I$$

გამოაკელით \left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I \left(-I\right)x-10y=-28-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\left(-I\right)x+Ix-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

მიუმატეთ -Ix Ix-ს. პირობები -Ix და Ix გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

მიუმატეთ -10y -\frac{3Iy}{2}-ს.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

მიუმატეთ -28 -2I-ს.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-2I-28$$

მიუმატეთ \frac{I\pi }{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y=\frac{\pi I}{2}-2I-28$$

ორივე მხარე გაყავით -10-\frac{3I}{2}-ზე.

$$y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I}-ით y აქ: -2x+3y+\pi =4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x+3\left(-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}\right)+\pi =4$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I}.

$$-2x-\frac{3\left(\pi I-4I-56\right)}{3I+20}+\pi =4$$

მიუმატეთ -\frac{3\left(-56-4I+I\pi \right)}{20+3I} \pi -ს.

$$-2x+\frac{4\left(3I+5\pi +42\right)}{3I+20}=4$$

გამოაკელით \frac{4\left(5\pi +3I+42\right)}{20+3I} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-\frac{4\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}$$