გადაწყვიტეთ {l}{9x+8y=5280x?}{8x+12y=5280*9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 8 y = 5280 x ? } \\ { 8 x + 12 y = 5280 \times 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{8640}{1439} = 6\frac{6}{1439} \approx 6.004169562$$

$$y = \frac{5692680}{1439} = 3955\frac{1435}{1439} \approx 3955.997220292$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5280x ორივე მხარეს.

$$9x+8y-5280x=0$$

დააჯგუფეთ 9x და -5280x, რათა მიიღოთ -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 5280 და 9, რათა მიიღოთ 47520.

$$8x+12y=47520$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5271x+8y=0$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5271x=-8y$$

ორივე მხარე გაყავით -5271-ზე.

$$x=-\frac{1}{5271}\left(-8\right)y$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5271}-ზე -8y.

$$x=\frac{8}{5271}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y}{5271}-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+12y=47520.

$$8\times \frac{8}{5271}y+12y=47520$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{8y}{5271}.

$$\frac{64}{5271}y+12y=47520$$

მიუმატეთ \frac{64y}{5271} 12y-ს.

$$\frac{63316}{5271}y=47520$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{63316}{5271}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5692680}{1439}-ით y აქ: x=\frac{8}{5271}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{5271}\times \frac{5692680}{1439}$$

გაამრავლეთ \frac{8}{5271}-ზე \frac{5692680}{1439} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5280x ორივე მხარეს.

$$9x+8y-5280x=0$$

დააჯგუფეთ 9x და -5280x, რათა მიიღოთ -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 5280 და 9, რათა მიიღოთ 47520.

$$8x+12y=47520$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}\\-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{5271}{-5271\times 12-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{15829}&\frac{2}{15829}\\\frac{2}{15829}&\frac{5271}{63316}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15829}\times 47520\\\frac{5271}{63316}\times 47520\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8640}{1439}\\\frac{5692680}{1439}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 5280x ორივე მხარეს.

$$9x+8y-5280x=0$$

დააჯგუფეთ 9x და -5280x, რათა მიიღოთ -5271x.

$$-5271x+8y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 5280 და 9, რათა მიიღოთ 47520.

$$8x+12y=47520$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

იმისათვის, რომ -5271x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5271-ზე.

$$8\left(-5271\right)x+8\times 8y=0,-5271\times 8x-5271\times 12y=-5271\times 47520$$

გაამარტივეთ.

$$-42168x+64y=0,-42168x-63252y=-250477920$$

გამოაკელით -42168x-63252y=-250477920 -42168x+64y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-42168x+42168x+64y+63252y=250477920$$

მიუმატეთ -42168x 42168x-ს. პირობები -42168x და 42168x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$64y+63252y=250477920$$

მიუმატეთ 64y 63252y-ს.

$$63316y=250477920$$

ორივე მხარე გაყავით 63316-ზე.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5692680}{1439}-ით y აქ: 8x+12y=47520. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x+12\times \frac{5692680}{1439}=47520$$

გაამრავლეთ 12-ზე \frac{5692680}{1439}.

$$8x+\frac{68312160}{1439}=47520$$

გამოაკელით \frac{68312160}{1439} განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=\frac{69120}{1439}$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$