გადაწყვიტეთ {l}{7x+5y=20}{x=7quady=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 20 } \\ { x = 7 \quad y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{70}{27} = 2\frac{16}{27} \approx 2.592592593$$

$$y=\frac{10}{27}\approx 0.37037037$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+5y=20$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-5y+20$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+20\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -5y+20.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+20}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, x-7y=0.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}-7y=0$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{7} -7y-ს.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{20}{7}=0$$

გამოაკელით \frac{20}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{20}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{54}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{10}{27}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{10}{27}-ით y აქ: x=-\frac{5}{7}y+\frac{20}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{10}{27}+\frac{20}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{7}-ზე \frac{10}{27} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{50}{189}+\frac{20}{7}$$

მიუმატეთ \frac{20}{7} -\frac{50}{189}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{70}{27}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-5}&-\frac{5}{7\left(-7\right)-5}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-5}&\frac{7}{7\left(-7\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{54}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{54}\times 20\\\frac{1}{54}\times 20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{27}\\\frac{10}{27}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$x-7y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+5y=20,x-7y=0$$

იმისათვის, რომ 7x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$7x+5y=20,7x+7\left(-7\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$7x+5y=20,7x-49y=0$$

გამოაკელით 7x-49y=0 7x+5y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x+5y+49y=20$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y+49y=20$$

მიუმატეთ 5y 49y-ს.

$$54y=20$$

ორივე მხარე გაყავით 54-ზე.

$$y=\frac{10}{27}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{10}{27}-ით y აქ: x-7y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-7\times \frac{10}{27}=0$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{10}{27}.

$$x-\frac{70}{27}=0$$

მიუმატეთ \frac{70}{27} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{70}{27}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{70}{27},y=\frac{10}{27}$$