გადაწყვიტეთ {l}{6x+12y=-6}{2x+5y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 12 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-5$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+12y=-6$$

გამოაკელით 12y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-12y-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-12y-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -12y-6.

$$x=-2y-1$$

ჩაანაცვლეთ -2y-1-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+5y=0.

$$2\left(-2y-1\right)+5y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2y-1.

$$-4y-2+5y=0$$

მიუმატეთ -4y 5y-ს.

$$y-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-2y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times 2-1$$

გაამრავლეთ -2-ზე 2.

$$x=-4-1$$

მიუმატეთ -1 -4-ს.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-12\times 2}&-\frac{12}{6\times 5-12\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-12\times 2}&\frac{6}{6\times 5-12\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-2\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-5,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

იმისათვის, რომ 6x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$2\times 6x+2\times 12y=2\left(-6\right),6\times 2x+6\times 5y=0$$

გაამარტივეთ.

$$12x+24y=-12,12x+30y=0$$

გამოაკელით 12x+30y=0 12x+24y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+24y-30y=-12$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$24y-30y=-12$$

მიუმატეთ 24y -30y-ს.

$$-6y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 2x+5y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+5\times 2=0$$

გაამრავლეთ 5-ზე 2.

$$2x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5,y=2$$