გადაწყვიტეთ {l}{50x+3y=3}{5-2x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 3 } \\ { 5 - 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{5}{48}\approx -0.104166667$$

$$y = \frac{197}{72} = 2\frac{53}{72} \approx 2.736111111$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$50x+3y=3,-2x-3y+5=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$50x+3y=3$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$50x=-3y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 50-ზე.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{50}-ზე -3y+3.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{3}{50}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+3}{50}-ით x მეორე განტოლებაში, -2x-3y+5=-3.

$$-2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{3}{50}\right)-3y+5=-3$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{-3y+3}{50}.

$$\frac{3}{25}y-\frac{3}{25}-3y+5=-3$$

მიუმატეთ \frac{3y}{25} -3y-ს.

$$-\frac{72}{25}y-\frac{3}{25}+5=-3$$

მიუმატეთ -\frac{3}{25} 5-ს.

$$-\frac{72}{25}y+\frac{122}{25}=-3$$

გამოაკელით \frac{122}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{72}{25}y=-\frac{197}{25}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{72}{25}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{197}{72}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{197}{72}-ით y აქ: x=-\frac{3}{50}y+\frac{3}{50}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{50}\times \frac{197}{72}+\frac{3}{50}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{50}-ზე \frac{197}{72} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{197}{1200}+\frac{3}{50}$$

მიუმატეთ \frac{3}{50} -\frac{197}{1200}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{5}{48}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{48},y=\frac{197}{72}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$50x+3y=3,-2x-3y+5=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\-2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{50\left(-3\right)-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{50\left(-3\right)-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{50\left(-3\right)-3\left(-2\right)}&\frac{50}{50\left(-3\right)-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&\frac{1}{48}\\-\frac{1}{72}&-\frac{25}{72}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 3+\frac{1}{48}\left(-8\right)\\-\frac{1}{72}\times 3-\frac{25}{72}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{48}\\\frac{197}{72}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{5}{48},y=\frac{197}{72}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$50x+3y=3,-2x-3y+5=-3$$

იმისათვის, რომ 50x და -2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 50-ზე.

$$-2\times 50x-2\times 3y=-2\times 3,50\left(-2\right)x+50\left(-3\right)y+50\times 5=50\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-100x-6y=-6,-100x-150y+250=-150$$

გამოაკელით -100x-150y+250=-150 -100x-6y=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-100x+100x-6y+150y-250=-6+150$$

მიუმატეთ -100x 100x-ს. პირობები -100x და 100x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y+150y-250=-6+150$$

მიუმატეთ -6y 150y-ს.

$$144y-250=-6+150$$

მიუმატეთ -6 150-ს.

$$144y-250=144$$

მიუმატეთ 250 განტოლების ორივე მხარეს.

$$144y=394$$

ორივე მხარე გაყავით 144-ზე.

$$y=\frac{197}{72}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{197}{72}-ით y აქ: -2x-3y+5=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-2x-3\times \frac{197}{72}+5=-3$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{197}{72}.

$$-2x-\frac{197}{24}+5=-3$$

მიუმატეთ -\frac{197}{24} 5-ს.

$$-2x-\frac{77}{24}=-3$$

მიუმატეთ \frac{77}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=\frac{5}{24}$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{5}{48}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5}{48},y=\frac{197}{72}$$