გადაწყვიტეთ {l}{5x-3y=18}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 18 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=18$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+18$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+18\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 18+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{18+3y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=5.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}\right)+y=5$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{18+3y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}+y=5$$

მიუმატეთ \frac{6y}{5} y-ს.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=5$$

გამოაკელით \frac{36}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{11}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{18}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე -1.

$$x=\frac{-3+18}{5}$$

მიუმატეთ \frac{18}{5} -\frac{3}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 18+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 18+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 18,5\times 2x+5y=5\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$10x-6y=36,10x+5y=25$$

გამოაკელით 10x+5y=25 10x-6y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x-6y-5y=36-25$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y-5y=36-25$$

მიუმატეთ -6y -5y-ს.

$$-11y=36-25$$

მიუმატეთ 36 -25-ს.

$$-11y=11$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 2x+y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-1=5$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=-1$$