გადაწყვიტეთ {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=13$$

$$y=17$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$5x-14-3y=0$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-3y=14$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

გაყავით 35 7-ზე 5-ის მისაღებად.

$$3x-2y=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x-3y=14$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=3y+14$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y+14}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

მიუმატეთ \frac{9y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

გამოაკელით \frac{42}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -5-ზე.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{5}-ზე 17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

მიუმატეთ \frac{14}{5} \frac{51}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=13$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=13,y=17$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$5x-14-3y=0$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-3y=14$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

გაყავით 35 7-ზე 5-ის მისაღებად.

$$3x-2y=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=13,y=17$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$5x-14-3y=0$$

დაამატეთ 14 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x-3y=14$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

გაყავით 35 7-ზე 5-ის მისაღებად.

$$3x-2y=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

გამოაკელით 15x-10y=25 15x-9y=42-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y+10y=42-25$$

მიუმატეთ -9y 10y-ს.

$$y=42-25$$

მიუმატეთ 42 -25-ს.

$$y=17$$

ჩაანაცვლეთ 17-ით y აქ: 3x-2y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\times 17=5$$

გაამრავლეთ -2-ზე 17.

$$3x-34=5$$

მიუმატეთ 34 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=39$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=13$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=13,y=17$$