გადაწყვიტეთ {l}{5x=2(y+1)}{x+10=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 ( y + 1 ) } \\ { x + 10 = 2 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$5x=2y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 2+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2+2y}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, x-2y=-10.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}-2y=-10$$

მიუმატეთ \frac{2y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{2}{5}=-10$$

გამოაკელით \frac{2}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{52}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{13}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{2}-ით y აქ: x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{2}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{2}{5}-ზე \frac{13}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{13+2}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} \frac{13}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$5x=2y+2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$5x-2y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x+10-2y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-2y=-10$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-10\right)\\\frac{1}{8}\times 2-\frac{5}{8}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 y+1-ზე.

$$5x=2y+2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$5x-2y=2$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x+10-2y=0$$

გამოაკელით 10 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-2y=-10$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

გამოაკელით x-2y=-10 5x-2y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5x-x-2y+2y=2+10$$

მიუმატეთ -2y 2y-ს. პირობები -2y და 2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5x-x=2+10$$

მიუმატეთ 5x -x-ს.

$$4x=2+10$$

მიუმატეთ 2 10-ს.

$$4x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: x-2y=-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3-2y=-10$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=-13$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$