გადაწყვიტეთ {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=51$$

$$y=65$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+3y=450$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-3y+450$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{5}+90-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{5} 4y-ს.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

გამოაკელით 270 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{5}y=143$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=65$$

ჩაანაცვლეთ 65-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y+90. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე 65.

$$x=-39+90$$

მიუმატეთ 90 -39-ს.

$$x=51$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=51,y=65$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=51,y=65$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

იმისათვის, რომ 5x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

გაამარტივეთ.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

გამოაკელით 15x+20y=2065 15x+9y=1350-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

მიუმატეთ 15x -15x-ს. პირობები 15x და -15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y-20y=1350-2065$$

მიუმატეთ 9y -20y-ს.

$$-11y=1350-2065$$

მიუმატეთ 1350 -2065-ს.

$$-11y=-715$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=65$$

ჩაანაცვლეთ 65-ით y აქ: 3x+4y=413. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+4\times 65=413$$

გაამრავლეთ 4-ზე 65.

$$3x+260=413$$

გამოაკელით 260 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=153$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=51$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=51,y=65$$