გადაწყვიტეთ {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+3y=2$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-3y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+2}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+12y=0.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{-3y+2}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

მიუმატეთ \frac{9y}{5} 12y-ს.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{69}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{2}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{23}-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე \frac{2}{23} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

მიუმატეთ \frac{2}{5} -\frac{6}{115}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{8}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

იმისათვის, რომ 5x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

გამოაკელით -15x+60y=0 -15x-9y=-6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y-60y=-6$$

მიუმატეთ -9y -60y-ს.

$$-69y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -69-ზე.

$$y=\frac{2}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{23}-ით y აქ: -3x+12y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

გაამრავლეთ 12-ზე \frac{2}{23}.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

გამოაკელით \frac{24}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=\frac{8}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$