გადაწყვიტეთ {l}{5x+3y=15}{2x-2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16} = 2.4375$$

$$y=\frac{15}{16}=0.9375$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5x+3y=15$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-3y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე -3y+15.

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{5}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-2y=3.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)-2y=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{3y}{5}+3.

$$-\frac{6}{5}y+6-2y=3$$

მიუმატეთ -\frac{6y}{5} -2y-ს.

$$-\frac{16}{5}y+6=3$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{5}y=-3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{15}{16}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{16}-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{15}{16}+3$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე \frac{15}{16} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{9}{16}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{9}{16}-ს.

$$x=\frac{39}{16}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 15+\frac{3}{16}\times 3\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{5}{16}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{16}\\\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

იმისათვის, რომ 5x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$10x+6y=30,10x-10y=15$$

გამოაკელით 10x-10y=15 10x+6y=30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x+6y+10y=30-15$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+10y=30-15$$

მიუმატეთ 6y 10y-ს.

$$16y=30-15$$

მიუმატეთ 30 -15-ს.

$$16y=15$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=\frac{15}{16}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15}{16}-ით y აქ: 2x-2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-2\times \frac{15}{16}=3$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{15}{16}.

$$2x-\frac{15}{8}=3$$

მიუმატეთ \frac{15}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{39}{8}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{39}{16}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$