გადაწყვიტეთ {l}{4x=3y+3}{x=y-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y + 3 } \\ { x = y - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-y=-1$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-3y=3$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=3y+3$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე 3+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3+3y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, x-y=-1.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}-y=-1$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} -y-ს.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}=-1$$

გამოაკელით \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{7}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -4-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე 7.

$$x=\frac{21+3}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} \frac{21}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-y=-1$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-3\left(-1\right)\\3-4\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$4x-3y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$x-y=-1$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-3y=3,x-y=-1$$

იმისათვის, რომ 4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$4x-3y=3,4x+4\left(-1\right)y=4\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$4x-3y=3,4x-4y=-4$$

გამოაკელით 4x-4y=-4 4x-3y=3-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x-3y+4y=3+4$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+4y=3+4$$

მიუმატეთ -3y 4y-ს.

$$y=3+4$$

მიუმატეთ 3 4-ს.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x-y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-7=-1$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=7$$