გადაწყვიტეთ {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x-17+7y=0$$

დაამატეთ 17 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x+7y=17$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+5y=-12$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-5y-12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{4}-3-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

მიუმატეთ -\frac{25y}{4} 7y-ს.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}y=32$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{128}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{128}{3}-ით y აქ: x=-\frac{5}{4}y-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{4}-ზე \frac{128}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

მიუმატეთ -3 -\frac{160}{3}-ს.

$$x=-\frac{169}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x-17+7y=0$$

დაამატეთ 17 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x+7y=17$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x-17+7y=0$$

დაამატეთ 17 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$5x+7y=17$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

იმისათვის, რომ 4x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

გაამარტივეთ.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

გამოაკელით 20x+28y=68 20x+25y=-60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$25y-28y=-60-68$$

მიუმატეთ 25y -28y-ს.

$$-3y=-60-68$$

მიუმატეთ -60 -68-ს.

$$-3y=-128$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=\frac{128}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{128}{3}-ით y აქ: 5x+7y=17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

გამოაკელით \frac{896}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-\frac{169}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$