გადაწყვიტეთ {l}{3.5c+5.25a=365.75}{c+a=9.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.5 c + 5.25 a = 365.75 } \\ { c + a = 9.4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა c, a-ისთვის

$$c=-180.8$$

$$a=190.2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი c-ისთვის, c-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3.5c+5.25a=365.75$$

გამოაკელით \frac{21a}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3.5c=-5.25a+365.75$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 3.5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=\frac{2}{7}\left(-5.25a+365.75\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{7}-ზე \frac{-21a+1463}{4}.

$$c=-1.5a+104.5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3a+209}{2}-ით c მეორე განტოლებაში, c+a=9.4.

$$-1.5a+104.5+a=9.4$$

მიუმატეთ -\frac{3a}{2} a-ს.

$$-0.5a+104.5=9.4$$

გამოაკელით 104.5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.5a=-95.1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$a=190.2$$

ჩაანაცვლეთ 190.2-ით a აქ: c=-1.5a+104.5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$c=-1.5\times 190.2+104.5$$

გაამრავლეთ -1.5-ზე 190.2 მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$c=-285.3+104.5$$

მიუმატეთ 104.5 -285.3-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$c=-180.8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=-180.8,a=190.2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3.5-5.25}&-\frac{5.25}{3.5-5.25}\\-\frac{1}{3.5-5.25}&\frac{3.5}{3.5-5.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&3\\\frac{4}{7}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 365.75+3\times 9.4\\\frac{4}{7}\times 365.75-2\times 9.4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180.8\\190.2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - c და a.

$$c=-180.8,a=190.2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

იმისათვის, რომ \frac{7c}{2} და c ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3.5-ზე.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=3.5\times 9.4$$

გაამარტივეთ.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=32.9$$

გამოაკელით 3.5c+3.5a=32.9 3.5c+5.25a=365.75-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3.5c-3.5c+5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

მიუმატეთ \frac{7c}{2} -\frac{7c}{2}-ს. პირობები \frac{7c}{2} და -\frac{7c}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

მიუმატეთ \frac{21a}{4} -\frac{7a}{2}-ს.

$$1.75a=365.75-32.9$$

მიუმატეთ 365.75 -32.9-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$1.75a=332.85$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.75-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$a=190.2$$

ჩაანაცვლეთ 190.2-ით a აქ: c+a=9.4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$c+190.2=9.4$$

გამოაკელით 190.2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$c=-180.8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=-180.8,a=190.2$$