გადაწყვიტეთ {l}{3x-3y=0}{2x+4y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 0 } \\ { 2 x + 4 y = - 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-3y=0,2x+4y=-6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-3y=0$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=3y$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\times 3y$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 3y.

$$x=y$$

ჩაანაცვლეთ y-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+4y=-6.

$$2y+4y=-6$$

მიუმატეთ 2y 4y-ს.

$$6y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: x=y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-3y=0,2x+4y=-6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3\times 4-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-3\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-3y=0,2x+4y=-6$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\left(-3\right)y=0,3\times 2x+3\times 4y=3\left(-6\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6x-6y=0,6x+12y=-18$$

გამოაკელით 6x+12y=-18 6x-6y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-6y-12y=18$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y-12y=18$$

მიუმატეთ -6y -12y-ს.

$$-18y=18$$

ორივე მხარე გაყავით -18-ზე.

$$y=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით y აქ: 2x+4y=-6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+4\left(-1\right)=-6$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$2x-4=-6$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-1$$