გადაწყვიტეთ {l}{3x-3y=-6}{4x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = - 6 } \\ { 4 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-3y=-6$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=3y-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -6+3y.

$$x=y-2$$

ჩაანაცვლეთ y-2-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3y=-1.

$$4\left(y-2\right)+3y=-1$$

გაამრავლეთ 4-ზე y-2.

$$4y-8+3y=-1$$

მიუმატეთ 4y 3y-ს.

$$7y-8=-1$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=7$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=1-2$$

მიუმატეთ -2 1-ს.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\\-\frac{4}{21}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

იმისათვის, რომ 3x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-6\right),3\times 4x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$12x-12y=-24,12x+9y=-3$$

გამოაკელით 12x+9y=-3 12x-12y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-12y-9y=-24+3$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y-9y=-24+3$$

მიუმატეთ -12y -9y-ს.

$$-21y=-24+3$$

მიუმატეთ -24 3-ს.

$$-21y=-21$$

ორივე მხარე გაყავით -21-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: 4x+3y=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+3=-1$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=1$$