გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=6.5$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+6.5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+6.5.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-2y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

მიუმატეთ -\frac{10y}{3} -2y-ს.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

გამოაკელით \frac{13}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე \frac{5}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

მიუმატეთ \frac{13}{6} -\frac{25}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

გაამარტივეთ.

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

გამოაკელით 6x-6y=-27 6x+10y=13-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y+6y=13+27$$

მიუმატეთ 10y 6y-ს.

$$16y=13+27$$

მიუმატეთ 13 27-ს.

$$16y=40$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{2}-ით y აქ: 2x-2y=-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{5}{2}.

$$2x-5=-9$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$