გადაწყვიტეთ {l}{3x+5y=6}{6x+15y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6 } \\ { 6 x + 15 y = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+5y=6,6x+15y=16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+5y=6$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-5y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -5y+6.

$$x=-\frac{5}{3}y+2$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{3}+2-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+15y=16.

$$6\left(-\frac{5}{3}y+2\right)+15y=16$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{5y}{3}+2.

$$-10y+12+15y=16$$

მიუმატეთ -10y 15y-ს.

$$5y+12=16$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: x=-\frac{5}{3}y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{4}{5}+2$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{3}-ზე \frac{4}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{4}{3}+2$$

მიუმატეთ 2 -\frac{4}{3}-ს.

$$x=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+5y=6,6x+15y=16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-5\times 6}&-\frac{5}{3\times 15-5\times 6}\\-\frac{6}{3\times 15-5\times 6}&\frac{3}{3\times 15-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6-\frac{1}{3}\times 16\\-\frac{2}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+5y=6,6x+15y=16$$

იმისათვის, რომ 3x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$6\times 3x+6\times 5y=6\times 6,3\times 6x+3\times 15y=3\times 16$$

გაამარტივეთ.

$$18x+30y=36,18x+45y=48$$

გამოაკელით 18x+45y=48 18x+30y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x+30y-45y=36-48$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$30y-45y=36-48$$

მიუმატეთ 30y -45y-ს.

$$-15y=36-48$$

მიუმატეთ 36 -48-ს.

$$-15y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: 6x+15y=16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+15\times \frac{4}{5}=16$$

გაამრავლეთ 15-ზე \frac{4}{5}.

$$6x+12=16$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{5}$$