გადაწყვიტეთ {l}{3x+2y=-8}{2x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { 2 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+2y=-8$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-2y-8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y-8}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+5y=2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)+5y=2$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-2y-8}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{16}{3}+5y=2$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} 5y-ს.

$$\frac{11}{3}y-\frac{16}{3}=2$$

მიუმატეთ \frac{16}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{11}{3}y=\frac{22}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{11}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე 2.

$$x=\frac{-4-8}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{8}{3} -\frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 5-2\times 2}&\frac{3}{3\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-8\right)-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{2}{11}\left(-8\right)+\frac{3}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+2y=-8,2x+5y=2$$

იმისათვის, რომ 3x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-8\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 2$$

გაამარტივეთ.

$$6x+4y=-16,6x+15y=6$$

გამოაკელით 6x+15y=6 6x+4y=-16-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+4y-15y=-16-6$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-15y=-16-6$$

მიუმატეთ 4y -15y-ს.

$$-11y=-16-6$$

მიუმატეთ -16 -6-ს.

$$-11y=-22$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 2x+5y=2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+5\times 2=2$$

გაამრავლეთ 5-ზე 2.

$$2x+10=2$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=2$$