გადაწყვიტეთ {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$25x+16y=72$$

გამოაკელით 16y განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x=-16y+72$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{25}-ზე -16y+72.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-16y+72}{25}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{-16y+72}{25}.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

მიუმატეთ \frac{16y}{5} 4y-ს.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{72}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{36}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

გაამრავლეთ -\frac{16}{25}-ზე 2.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

მიუმატეთ \frac{72}{25} -\frac{32}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

იმისათვის, რომ 25x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 25-ზე.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

გაამარტივეთ.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

გამოაკელით -125x+100y=0 -125x-80y=-360-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

მიუმატეთ -125x 125x-ს. პირობები -125x და 125x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-80y-100y=-360$$

მიუმატეთ -80y -100y-ს.

$$-180y=-360$$

ორივე მხარე გაყავით -180-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: -5x+4y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x+4\times 2=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე 2.

$$-5x+8=0$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$