გადაწყვიტეთ {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$20a+3b=41$$

გამოაკელით 3b განტოლების ორივე მხარეს.

$$20a=-3b+41$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{20}-ზე -3b+41.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3b+41}{20}-ით a მეორე განტოლებაში, 15a+7b=45.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

გაამრავლეთ 15-ზე \frac{-3b+41}{20}.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

მიუმატეთ -\frac{9b}{4} 7b-ს.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

გამოაკელით \frac{123}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით b აქ: a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{20}-ზე 3.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

მიუმატეთ \frac{41}{20} -\frac{9}{20}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

იმისათვის, რომ 20a და 15a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 15-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 20-ზე.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

გაამარტივეთ.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

გამოაკელით 300a+140b=900 300a+45b=615-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

მიუმატეთ 300a -300a-ს. პირობები 300a და -300a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$45b-140b=615-900$$

მიუმატეთ 45b -140b-ს.

$$-95b=615-900$$

მიუმატეთ 615 -900-ს.

$$-95b=-285$$

ორივე მხარე გაყავით -95-ზე.

$$b=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით b აქ: 15a+7b=45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$15a+7\times 3=45$$

გაამრავლეთ 7-ზე 3.

$$15a+21=45$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$15a=24$$

ორივე მხარე გაყავით 15-ზე.

$$a=\frac{8}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$