გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y+6=0}{6x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 6 = 0 } \\ { 6 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y+6=0,6x+y-8=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-6$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-6$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6+3y.

$$x=\frac{3}{2}y-3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}-3-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+y-8=0.

$$6\left(\frac{3}{2}y-3\right)+y-8=0$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{3y}{2}-3.

$$9y-18+y-8=0$$

მიუმატეთ 9y y-ს.

$$10y-18-8=0$$

მიუმატეთ -18 -8-ს.

$$10y-26=0$$

მიუმატეთ 26 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10y=26$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$y=\frac{13}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{5}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{13}{5}-3$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{13}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{39}{10}-3$$

მიუმატეთ -3 \frac{39}{10}-ს.

$$x=\frac{9}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{13}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y+6=0,6x+y-8=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\times 8\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{13}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y+6=0,6x+y-8=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$6\times 2x+6\left(-3\right)y+6\times 6=0,2\times 6x+2y+2\left(-8\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$12x-18y+36=0,12x+2y-16=0$$

გამოაკელით 12x+2y-16=0 12x-18y+36=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x-18y-2y+36+16=0$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-18y-2y+36+16=0$$

მიუმატეთ -18y -2y-ს.

$$-20y+36+16=0$$

მიუმატეთ 36 16-ს.

$$-20y+52=0$$

გამოაკელით 52 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-20y=-52$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=\frac{13}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{5}-ით y აქ: 6x+y-8=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+\frac{13}{5}-8=0$$

მიუმატეთ \frac{13}{5} -8-ს.

$$6x-\frac{27}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{27}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=\frac{27}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{9}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{13}{5}$$