გადაწყვიტეთ {l}{2x-3y+13=0}{3x-2y+12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 13 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 12 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y+13=0$$

გამოაკელით 13 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-13$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-13$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-13\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-13}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y+12=0.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-2y+12=0$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{3y-13}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{39}{2}-2y+12=0$$

მიუმატეთ \frac{9y}{2} -2y-ს.

$$\frac{5}{2}y-\frac{39}{2}+12=0$$

მიუმატეთ -\frac{39}{2} 12-ს.

$$\frac{5}{2}y-\frac{15}{2}=0$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{13}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე 3.

$$x=\frac{9-13}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{2} \frac{9}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{3}{5}\left(-12\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{2}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 13=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0$$

გაამარტივეთ.

$$6x-9y+39=0,6x-4y+24=0$$

გამოაკელით 6x-4y+24=0 6x-9y+39=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x-9y+4y+39-24=0$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y+4y+39-24=0$$

მიუმატეთ -9y 4y-ს.

$$-5y+39-24=0$$

მიუმატეთ 39 -24-ს.

$$-5y+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 3x-2y+12=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\times 3+12=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$3x-6+12=0$$

მიუმატეთ -6 12-ს.

$$3x+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=3$$