გადაწყვიტეთ {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y-7=0$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x+y=7$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+7}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

გაამრავლეთ 17-ზე \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

მიუმატეთ -\frac{17y}{2} -11y-ს.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

მიუმატეთ \frac{119}{2} -8-ს.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

გამოაკელით \frac{103}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{39}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{103}{39}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{103}{39}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{103}{39} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} -\frac{103}{78}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{85}{39}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 17x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 17-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

გამოაკელით 34x-22y-16=0 34x+17y-119=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

მიუმატეთ 34x -34x-ს. პირობები 34x და -34x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$17y+22y-119+16=0$$

მიუმატეთ 17y 22y-ს.

$$39y-119+16=0$$

მიუმატეთ -119 16-ს.

$$39y-103=0$$

მიუმატეთ 103 განტოლების ორივე მხარეს.

$$39y=103$$

ორივე მხარე გაყავით 39-ზე.

$$y=\frac{103}{39}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{103}{39}-ით y აქ: 17x-11y-8=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

გაამრავლეთ -11-ზე \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

მიუმატეთ -\frac{1133}{39} -8-ს.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

მიუმატეთ \frac{1445}{39} განტოლების ორივე მხარეს.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$x=\frac{85}{39}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$