გადაწყვიტეთ {l}{2x+y=12}{y-x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { y - x = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} \approx 7.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+y=12$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+6-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+6\right)+y=5$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{y}{2}+6.

$$\frac{1}{2}y-6+y=5$$

მიუმატეთ \frac{y}{2} y-ს.

$$\frac{3}{2}y-6=5$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}y=11$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{22}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{22}{3}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{22}{3}+6$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{22}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{11}{3}+6$$

მიუმატეთ 6 -\frac{11}{3}-ს.

$$x=\frac{7}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 12-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{1}{3}\times 12+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\\frac{22}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

გამოაკელით -x+y=5 2x+y=12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x+x+y-y=12-5$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x+x=12-5$$

მიუმატეთ 2x x-ს.

$$3x=12-5$$

მიუმატეთ 12 -5-ს.

$$3x=7$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{7}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{3}-ით x აქ: -x+y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-\frac{7}{3}+y=5$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{22}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$