გადაწყვიტეთ {l}{2a+6d=0}{a+4d=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 6 d = 0 } \\ { a + 4 d = 21 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, d-ისთვის

$$a=-63$$

$$d=21$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2a+6d=0$$

გამოაკელით 6d განტოლების ორივე მხარეს.

$$2a=-6d$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$a=\frac{1}{2}\left(-6\right)d$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -6d.

$$a=-3d$$

ჩაანაცვლეთ -3d-ით a მეორე განტოლებაში, a+4d=21.

$$-3d+4d=21$$

მიუმატეთ -3d 4d-ს.

$$d=21$$

ჩაანაცვლეთ 21-ით d აქ: a=-3d. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-3\times 21$$

გაამრავლეთ -3-ზე 21.

$$a=-63$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-63,d=21$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-6}&-\frac{6}{2\times 4-6}\\-\frac{1}{2\times 4-6}&\frac{2}{2\times 4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 21\\21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\21\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და d.

$$a=-63,d=21$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

იმისათვის, რომ 2a და a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$2a+6d=0,2a+2\times 4d=2\times 21$$

გაამარტივეთ.

$$2a+6d=0,2a+8d=42$$

გამოაკელით 2a+8d=42 2a+6d=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2a-2a+6d-8d=-42$$

მიუმატეთ 2a -2a-ს. პირობები 2a და -2a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6d-8d=-42$$

მიუმატეთ 6d -8d-ს.

$$-2d=-42$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$d=21$$

ჩაანაცვლეთ 21-ით d აქ: a+4d=21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a+4\times 21=21$$

გაამრავლეთ 4-ზე 21.

$$a+84=21$$

გამოაკელით 84 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-63$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-63,d=21$$