გადაწყვიტეთ {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$18x-14y=-5$$

მიუმატეთ 14y განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x=14y-5$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{18}-ზე 14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}-ით x მეორე განტოლებაში, 18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

გაამრავლეთ 18-ზე \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

მიუმატეთ 14y 2y-ს.

$$16y-5=-20$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$16y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$y=-\frac{15}{16}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{15}{16}-ით y აქ: x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

გაამრავლეთ \frac{7}{9}-ზე -\frac{15}{16} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{18} -\frac{35}{48}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{145}{144}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

გამოაკელით 18x+2y=-20 18x-14y=-5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-14y-2y=-5+20$$

მიუმატეთ -14y -2y-ს.

$$-16y=-5+20$$

მიუმატეთ -5 20-ს.

$$-16y=15$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$y=-\frac{15}{16}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{15}{16}-ით y აქ: 18x+2y=-20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

მიუმატეთ \frac{15}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$x=-\frac{145}{144}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$