გადაწყვიტეთ {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-28$$

$$y=63$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$11x+5y=7$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=-5y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{11}-ზე -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+7}{11}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

მიუმატეთ -\frac{30y}{11} 3y-ს.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

გამოაკელით \frac{42}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{11}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=63$$

ჩაანაცვლეთ 63-ით y აქ: x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{11}-ზე 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

მიუმატეთ \frac{7}{11} -\frac{315}{11}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-28$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-28,y=63$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-28,y=63$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

იმისათვის, რომ 11x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

გაამარტივეთ.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

გამოაკელით 66x+33y=231 66x+30y=42-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

მიუმატეთ 66x -66x-ს. პირობები 66x და -66x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$30y-33y=42-231$$

მიუმატეთ 30y -33y-ს.

$$-3y=42-231$$

მიუმატეთ 42 -231-ს.

$$-3y=-189$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=63$$

ჩაანაცვლეთ 63-ით y აქ: 6x+3y=21. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x+3\times 63=21$$

გაამრავლეთ 3-ზე 63.

$$6x+189=21$$

გამოაკელით 189 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-168$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-28$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-28,y=63$$