გადაწყვიტეთ {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

გამოაკელით \frac{3y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.4-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

გაამრავლეთ 2.5-ზე \frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+17}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, 0.7x-0.2y=0.8.

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

გაამრავლეთ 0.7-ზე \frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

მიუმატეთ -\frac{21y}{40} -\frac{y}{5}-ს.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

გამოაკელით 2.975 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.725y=-2.175$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.725-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-0.75y+4.25. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

გაამრავლეთ -0.75-ზე 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

მიუმატეთ 4.25 -2.25-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

იმისათვის, რომ \frac{2x}{5} და \frac{7x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 0.7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.4-ზე.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

გაამარტივეთ.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

გამოაკელით 0.28x-0.08y=0.32 0.28x+0.21y=1.19-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

მიუმატეთ \frac{7x}{25} -\frac{7x}{25}-ს. პირობები \frac{7x}{25} და -\frac{7x}{25} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

მიუმატეთ \frac{21y}{100} \frac{2y}{25}-ს.

$$0.29y=1.19-0.32$$

მიუმატეთ 1.19 -0.32-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$0.29y=0.87$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.29-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: 0.7x-0.2y=0.8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

გაამრავლეთ -0.2-ზე 3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

მიუმატეთ 0.6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.7x=1.4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.7-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=3$$