გადაწყვიტეთ {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$0.2x+0.1y=-180$$

გამოაკელით \frac{y}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.2x=-0.1y-180$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 5-ზე.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}-900-ით x მეორე განტოლებაში, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

გაამრავლეთ -0.7-ზე -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

მიუმატეთ \frac{7y}{20} -\frac{y}{5}-ს.

$$0.15y+630=480$$

გამოაკელით 630 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.15y=-150$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.15-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1000$$

ჩაანაცვლეთ -1000-ით y აქ: x=-0.5y-900. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

გაამრავლეთ -0.5-ზე -1000.

$$x=500-900$$

მიუმატეთ -900 500-ს.

$$x=-400$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-400,y=-1000$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-400,y=-1000$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

იმისათვის, რომ \frac{x}{5} და -\frac{7x}{10} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -0.7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 0.2-ზე.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

გაამარტივეთ.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

გამოაკელით -0.14x-0.04y=96 -0.14x-0.07y=126-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

მიუმატეთ -\frac{7x}{50} \frac{7x}{50}-ს. პირობები -\frac{7x}{50} და \frac{7x}{50} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

მიუმატეთ -\frac{7y}{100} \frac{y}{25}-ს.

$$-0.03y=126-96$$

მიუმატეთ 126 -96-ს.

$$-0.03y=30$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.03-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-1000$$

ჩაანაცვლეთ -1000-ით y აქ: -0.7x-0.2y=480. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

გაამრავლეთ -0.2-ზე -1000.

$$-0.7x+200=480$$

გამოაკელით 200 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.7x=280$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.7-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-400$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-400,y=-1000$$