გადაწყვიტეთ {l}{-x-7y=-3}{8x+14y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 7 y = - 3 } \\ { 8 x + 14 y = 24 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x-7y=-3,8x+14y=24$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x-7y=-3$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=7y-3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(7y-3\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე 7y-3.

$$x=-7y+3$$

ჩაანაცვლეთ -7y+3-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+14y=24.

$$8\left(-7y+3\right)+14y=24$$

გაამრავლეთ 8-ზე -7y+3.

$$-56y+24+14y=24$$

მიუმატეთ -56y 14y-ს.

$$-42y+24=24$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-42y=0$$

ორივე მხარე გაყავით -42-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=-7y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x-7y=-3,8x+14y=24$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-7\\8&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{-14-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{-14-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{-14-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{1}{-14-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{4}{21}&-\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\24\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{4}{21}\left(-3\right)-\frac{1}{42}\times 24\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x-7y=-3,8x+14y=24$$

იმისათვის, რომ -x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$8\left(-1\right)x+8\left(-7\right)y=8\left(-3\right),-8x-14y=-24$$

გაამარტივეთ.

$$-8x-56y=-24,-8x-14y=-24$$

გამოაკელით -8x-14y=-24 -8x-56y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-8x+8x-56y+14y=-24+24$$

მიუმატეთ -8x 8x-ს. პირობები -8x და 8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-56y+14y=-24+24$$

მიუმატეთ -56y 14y-ს.

$$-42y=-24+24$$

მიუმატეთ -24 24-ს.

$$-42y=0$$

ორივე მხარე გაყავით -42-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: 8x+14y=24. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x=24$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=0$$