გადაწყვიტეთ {l}{-x+y=-6}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = - 6 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-2$$

$$y=-8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-x+y=-6,3x-2y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-x+y=-6$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-y-6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-\left(-y-6\right)$$

გაამრავლეთ -1-ზე -y-6.

$$x=y+6$$

ჩაანაცვლეთ y+6-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=10.

$$3\left(y+6\right)-2y=10$$

გაამრავლეთ 3-ზე y+6.

$$3y+18-2y=10$$

მიუმატეთ 3y -2y-ს.

$$y+18=10$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-8$$

ჩაანაცვლეთ -8-ით y აქ: x=y+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-8+6$$

მიუმატეთ 6 -8-ს.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=-8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-x+y=-6,3x-2y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-6\right)+10\\3\left(-6\right)+10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-2,y=-8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-x+y=-6,3x-2y=10$$

იმისათვის, რომ -x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე.

$$3\left(-1\right)x+3y=3\left(-6\right),-3x-\left(-2y\right)=-10$$

გაამარტივეთ.

$$-3x+3y=-18,-3x+2y=-10$$

გამოაკელით -3x+2y=-10 -3x+3y=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x+3y-2y=-18+10$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-2y=-18+10$$

მიუმატეთ 3y -2y-ს.

$$y=-18+10$$

მიუმატეთ -18 10-ს.

$$y=-8$$

ჩაანაცვლეთ -8-ით y აქ: 3x-2y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\left(-8\right)=10$$

გაამრავლეთ -2-ზე -8.

$$3x+16=10$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2,y=-8$$