გადაწყვიტეთ {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=7$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-3y+4x=13$$

გამოაკელით 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=-4x+13$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{3}-ზე -4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4x-13}{3}-ით y მეორე განტოლებაში, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

მიუმატეთ -\frac{20x}{3} -6x-ს.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

გამოაკელით \frac{65}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{38}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით x აქ: y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{3}-ზე 7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{3} \frac{28}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=5,x=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

იმისათვის, რომ -3y და -5y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

გაამარტივეთ.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

გამოაკელით 15y+18x=201 15y-20x=-65-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

მიუმატეთ 15y -15y-ს. პირობები 15y და -15y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-20x-18x=-65-201$$

მიუმატეთ -20x -18x-ს.

$$-38x=-65-201$$

მიუმატეთ -65 -201-ს.

$$-38x=-266$$

ორივე მხარე გაყავით -38-ზე.

$$x=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით x აქ: -5y-6x=-67. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-5y-6\times 7=-67$$

გაამრავლეთ -6-ზე 7.

$$-5y-42=-67$$

მიუმატეთ 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5y=-25$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=5,x=7$$