გადაწყვიტეთ {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-3x-y-2x=-1$$

დააჯგუფეთ -3x და -2x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x-y=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+5y-ზე.

$$-6x-15y=x+y-30$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-6x-15y-x=y-30$$

დააჯგუფეთ -6x და -x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-7x-15y-y=-30$$

დააჯგუფეთ -15y და -y, რათა მიიღოთ -16y.

$$-7x-16y=-30$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-5x-y=-1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=y-1$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+1}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

გაამრავლეთ -7-ზე \frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

მიუმატეთ \frac{7y}{5} -16y-ს.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{73}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{143}{73}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{143}{73}-ით y აქ: x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{5}-ზე \frac{143}{73} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} -\frac{143}{365}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{14}{73}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-3x-y-2x=-1$$

დააჯგუფეთ -3x და -2x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x-y=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+5y-ზე.

$$-6x-15y=x+y-30$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-6x-15y-x=y-30$$

დააჯგუფეთ -6x და -x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-7x-15y-y=-30$$

დააჯგუფეთ -15y და -y, რათა მიიღოთ -16y.

$$-7x-16y=-30$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$-3x-y-2x=-1$$

დააჯგუფეთ -3x და -2x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-5x-y=-1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x+5y-ზე.

$$-6x-15y=x+y-30$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-6x-15y-x=y-30$$

დააჯგუფეთ -6x და -x, რათა მიიღოთ -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$-7x-15y-y=-30$$

დააჯგუფეთ -15y და -y, რათა მიიღოთ -16y.

$$-7x-16y=-30$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

იმისათვის, რომ -5x და -7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

გაამარტივეთ.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

გამოაკელით 35x+80y=150 35x+7y=7-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

მიუმატეთ 35x -35x-ს. პირობები 35x და -35x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7y-80y=7-150$$

მიუმატეთ 7y -80y-ს.

$$-73y=7-150$$

მიუმატეთ 7 -150-ს.

$$-73y=-143$$

ორივე მხარე გაყავით -73-ზე.

$$y=\frac{143}{73}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{143}{73}-ით y აქ: -7x-16y=-30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

გაამრავლეთ -16-ზე \frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

მიუმატეთ \frac{2288}{73} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=-\frac{14}{73}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$