გადაწყვიტეთ {l}{-2x+4y=-4}{x-3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = - 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-6$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+4y=-4$$

გამოაკელით 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-4y-4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -4y-4.

$$x=2y+2$$

ჩაანაცვლეთ 2+2y-ით x მეორე განტოლებაში, x-3y=6.

$$2y+2-3y=6$$

მიუმატეთ 2y -3y-ს.

$$-y+2=6$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=2y+2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\left(-4\right)+2$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=-8+2$$

მიუმატეთ 2 -8-ს.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-3\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-4\right)-2\times 6\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-6,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+4y=-4,x-3y=6$$

იმისათვის, რომ -2x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$-2x+4y=-4,-2x-2\left(-3\right)y=-2\times 6$$

გაამარტივეთ.

$$-2x+4y=-4,-2x+6y=-12$$

გამოაკელით -2x+6y=-12 -2x+4y=-4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+2x+4y-6y=-4+12$$

მიუმატეთ -2x 2x-ს. პირობები -2x და 2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-6y=-4+12$$

მიუმატეთ 4y -6y-ს.

$$-2y=-4+12$$

მიუმატეთ -4 12-ს.

$$-2y=8$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x-3y=6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3\left(-4\right)=6$$

გაამრავლეთ -3-ზე -4.

$$x+12=6$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=-4$$