გადაწყვიტეთ {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-7$$

$$y=-8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x+3y=-10$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=-3y-10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე -3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{2}+5-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+3y=-3.

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{2} 3y-ს.

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{2}y=12$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-8$$

ჩაანაცვლეთ -8-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -8.

$$x=-12+5$$

მიუმატეთ 5 -12-ს.

$$x=-7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-7,y=-8$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-7,y=-8$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

გამოაკელით -3x+3y=-3 -2x+3y=-10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2x+3x=-10+3$$

მიუმატეთ -2x 3x-ს.

$$x=-10+3$$

მიუმატეთ -10 3-ს.

$$x=-7$$

ჩაანაცვლეთ -7-ით x აქ: -3x+3y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

გაამრავლეთ -3-ზე -7.

$$21+3y=-3$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-7,y=-8$$