გადაწყვიტეთ {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=0$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-10x-6y=12$$

მიუმატეთ 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10x=6y+12$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{10}-ზე 12+6y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y-6}{5}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+7y=-14.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-3y-6}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

მიუმატეთ -\frac{12y}{5} 7y-ს.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

მიუმატეთ \frac{24}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{23}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{5}-ზე -2.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

მიუმატეთ -\frac{6}{5} \frac{6}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=0,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

იმისათვის, რომ -10x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -10-ზე.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

გამოაკელით -40x-70y=140 -40x-24y=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

მიუმატეთ -40x 40x-ს. პირობები -40x და 40x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-24y+70y=48-140$$

მიუმატეთ -24y 70y-ს.

$$46y=48-140$$

მიუმატეთ 48 -140-ს.

$$46y=-92$$

ორივე მხარე გაყავით 46-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 4x+7y=-14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

გაამრავლეთ 7-ზე -2.

$$4x-14=-14$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=0$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=0,y=-2$$