გადაწყვიტეთ {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 y+5-ზე.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 y+2-ზე.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

დააჯგუფეთ xy და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x-2y-10+y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$3x-y-10=-2$$

დაამატეთ 10 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-2+10$$

შეკრიბეთ -2 და 10, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y-3 x+4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+7 y-4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

დააჯგუფეთ yx და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

დააჯგუფეთ -3x და 4x, რათა მიიღოთ x.

$$4y+x-12=7y-28$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$4y+x-12-7y=-28$$

დააჯგუფეთ 4y და -7y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$-3y+x=-28+12$$

შეკრიბეთ -28 და 12, რათა მიიღოთ -16.

$$-3y+x=-16$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x-y=8$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=y+8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8+y}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

მიუმატეთ \frac{y}{3} -3y-ს.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

გამოაკელით \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{7}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 y+5-ზე.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 y+2-ზე.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

დააჯგუფეთ xy და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x-2y-10+y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$3x-y-10=-2$$

დაამატეთ 10 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-2+10$$

შეკრიბეთ -2 და 10, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y-3 x+4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+7 y-4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

დააჯგუფეთ yx და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

დააჯგუფეთ -3x და 4x, რათა მიიღოთ x.

$$4y+x-12=7y-28$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$4y+x-12-7y=-28$$

დააჯგუფეთ 4y და -7y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$-3y+x=-28+12$$

შეკრიბეთ -28 და 12, რათა მიიღოთ -16.

$$-3y+x=-16$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 y+5-ზე.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 y+2-ზე.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

დააჯგუფეთ xy და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

დაამატეთ y ორივე მხარეს.

$$3x-2y-10+y=-2$$

დააჯგუფეთ -2y და y, რათა მიიღოთ -y.

$$3x-y-10=-2$$

დაამატეთ 10 ორივე მხარეს.

$$3x-y=-2+10$$

შეკრიბეთ -2 და 10, რათა მიიღოთ 8.

$$3x-y=8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y-3 x+4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+7 y-4-ზე.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

გამოაკელით xy ორივე მხარეს.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

დააჯგუფეთ yx და -xy, რათა მიიღოთ 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

დაამატეთ 4x ორივე მხარეს.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

დააჯგუფეთ -3x და 4x, რათა მიიღოთ x.

$$4y+x-12=7y-28$$

გამოაკელით 7y ორივე მხარეს.

$$4y+x-12-7y=-28$$

დააჯგუფეთ 4y და -7y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$-3y+x=-28+12$$

შეკრიბეთ -28 და 12, რათა მიიღოთ -16.

$$-3y+x=-16$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

იმისათვის, რომ 3x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

გაამარტივეთ.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

გამოაკელით 3x-9y=-48 3x-y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+9y=8+48$$

მიუმატეთ -y 9y-ს.

$$8y=8+48$$

მიუმატეთ 8 48-ს.

$$8y=56$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=7$$

ჩაანაცვლეთ 7-ით y აქ: x-3y=-16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3\times 7=-16$$

გაამრავლეთ -3-ზე 7.

$$x-21=-16$$

მიუმატეთ 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=7$$