გადაწყვიტეთ {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=13$$

$$y=11$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-7-ზე.

$$2x-6=5y-35$$

გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$2x-6-5y=-35$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$2x-5y=-35+6$$

შეკრიბეთ -35 და 6, რათა მიიღოთ -29.

$$2x-5y=-29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$11x-13y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-5y=-29$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=5y-29$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5y-29}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

გაამრავლეთ 11-ზე \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

მიუმატეთ \frac{55y}{2} -13y-ს.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

მიუმატეთ \frac{319}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{29}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=11$$

ჩაანაცვლეთ 11-ით y აქ: x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{2}-ზე 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{29}{2} \frac{55}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=13$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=13,y=11$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-7-ზე.

$$2x-6=5y-35$$

გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$2x-6-5y=-35$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$2x-5y=-35+6$$

შეკრიბეთ -35 და 6, რათა მიიღოთ -29.

$$2x-5y=-29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$11x-13y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=13,y=11$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 y-7-ზე.

$$2x-6=5y-35$$

გამოაკელით 5y ორივე მხარეს.

$$2x-6-5y=-35$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$2x-5y=-35+6$$

შეკრიბეთ -35 და 6, რათა მიიღოთ -29.

$$2x-5y=-29$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 13y ორივე მხარეს.

$$11x-13y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 11x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 11-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

გამოაკელით 22x-26y=0 22x-55y=-319-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

მიუმატეთ 22x -22x-ს. პირობები 22x და -22x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-55y+26y=-319$$

მიუმატეთ -55y 26y-ს.

$$-29y=-319$$

ორივე მხარე გაყავით -29-ზე.

$$y=11$$

ჩაანაცვლეთ 11-ით y აქ: 11x-13y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$11x-13\times 11=0$$

გაამრავლეთ -13-ზე 11.

$$11x-143=0$$

მიუმატეთ 143 განტოლების ორივე მხარეს.

$$11x=143$$

ორივე მხარე გაყავით 11-ზე.

$$x=13$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=13,y=11$$