გადაწყვიტეთ {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=5$$

$$y=-10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-20=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-20-y=0$$

დაამატეთ 20 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2x-y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x+45+7y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+7y=-45$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-y=20$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=y+20$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}+10-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

მიუმატეთ \frac{5y}{2} 7y-ს.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

გამოაკელით 50 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-10$$

ჩაანაცვლეთ -10-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -10.

$$x=-5+10$$

მიუმატეთ 10 -5-ს.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-20=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-20-y=0$$

დაამატეთ 20 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2x-y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x+45+7y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+7y=-45$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=5,y=-10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 10-ზე, 5,10-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2x-20=y$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-20-y=0$$

დაამატეთ 20 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2x-y=20$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 7y ორივე მხარეს.

$$5x+45+7y=0$$

გამოაკელით 45 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$5x+7y=-45$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

იმისათვის, რომ 2x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

გაამარტივეთ.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

გამოაკელით 10x+14y=-90 10x-5y=100-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

მიუმატეთ 10x -10x-ს. პირობები 10x და -10x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5y-14y=100+90$$

მიუმატეთ -5y -14y-ს.

$$-19y=100+90$$

მიუმატეთ 100 90-ს.

$$-19y=190$$

ორივე მხარე გაყავით -19-ზე.

$$y=-10$$

ჩაანაცვლეთ -10-ით y აქ: 5x+7y=-45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

გაამრავლეთ 7-ზე -10.

$$5x-70=-45$$

მიუმატეთ 70 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=25$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=5$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=5,y=-10$$